Verbeter uw risicoberekeningen
Waarde risico en economisch kapitaal
De negatieve financiële resultaten van de afgelopen jaren zijn door vrijwel geen enkel risicomodel goed ingeschat.
Ook de meest extreme risicoberekeningen – veelal uitgedrukt in termen als ‘Value at Risk’ en benodigd ‘Economisch kapitaal’ – hielden geen rekening met dergelijke heftige fluctuaties. Dit is voor een deel te wijten aan een gebrek aan ‘negatieve’ data. Maar ook de modellering van de risico’s, en dan met met name hun onderlinge afhankelijkheid, kan sterk worden verbeterd.
Analist Bas Tammens legt uit hoe dit aangepakt moet worden.
Voor het berekenen van risicomaatstaven en de onderliggende variabelen (rente bijvoorbeeld, of aandelenrendementen) worden vaak multivariate normale kansverdelingen gebruikt.
Een multivariate kansverdeling biedt de mogelijkheid om rekening te houden met de afhankelijkheden tussen verschillende variabelen. Echter, een onterecht gebruik van de normale verdeling of een verkeerde inschatting van de afhankelijkheid tussen de variabelen kan een onderschatting van het risico opleveren, met name als extreme situaties in kaart worden gebracht.
“De modellering van de risico’s, en dan met met name de onderlinge afhankelijkheid, kan sterk worden verbeterd.”
Door de karakteristieken van de individuele variabelen zo goed mogelijk (statistisch) te beschrijven, kan een meer realistisch beeld worden gecreëerd van de risico’s die een onderneming loopt. Om vervolgens een totaalbeeld te krijgen van álle risico’s, dient de samenhang en afhankelijkheid tussen de variabelen correct vast te worden gesteld.
De focus van dit artikel ligt op de structuur van multivariate kansverdelingen en de toepassing van dit concept binnen risicomanagement. Deze toepassing betreft onder andere het simuleren van economische variabelen, het optellen van VaR-handelslimieten en het aggregeren van verschillende risicotypes tot (bijvoorbeeld) een economisch kapitaal voor de gehele onderneming.
Theorie
Een multivariate kansverdeling is opgebouwd uit twee delen:
- De (univariate) verdelingen die de karakteristieken weerspiegelen van de individuele variabelen, bijvoorbeeld normaal, t of exponentieel verdeeld.
- De copula die de afhankelijkheidsstructuur tussen de verschillende variabelen (stochasten) beschrijft, bijvoorbeeld een Gaussische, t- of Archimedische copula.
Bij het modelleren van afhankelijkheden van variabelen worden copula’s vaak als relatief complex ervaren. Copula’s blijken in de praktijk echter eenvoudiger dan gedacht en worden impliciet al regelmatig toegepast.
Schattingsproces
Voor het opstellen van een multivariate verdeling dienen in het schattingsproces drie stappen te worden doorlopen:
- Schat voor iedere variabele apart de meest toepasselijke (univariate) verdelingsfunctie.
- Gebruik de cumulatieve verdelingsfunctie van de geschatte verdelingen uit stap 1 om de data naar de eenheidsruimte te transformeren (de afhankelijkheidsstructuur gedefinieerd door de copula wordt op deze ruimte vastgelegd).
- Schat de copula op de eenheidsruimte.
Simulatieproces
Als vervolgens met behulp van deze multivariate kansverdeling data wordt gesimuleerd, dienen de volgende twee stappen te worden doorlopen:
- Simuleer de data uit de copula. Deze data ligt in de eenheidsruimte.
- Gebruik de (inverse cumulatieve) verdelingsfuncties die zijn geschat voor de variabelen om de data uit de eenheidsruimte te transformeren naar de ruimte van de originele variabelen.
Waar de karakteristieken zoals scheefheid of dikstaartigheid van de (univariate) verdelingen vaak bekend zijn, zijn de karakteristieken van de copula dat over het algemeen niet. Een Gaussische copula beschrijft de lineaire afhankelijkheid tussen stochasten.
Een t-copula kan de afhankelijkheid tussen variabelen in de staart van de verdelingen modelleren. Dit betekent dat extreme gebeurtenissen vaker simultaan voorkomen dan alleen op grond van de correlatie kan worden verwacht. Verder is het mogelijk om met Archimedische copula’s niet-lineaire verbanden te modelleren.
Een multivariate normale verdeling bestaat uit normaal verdeelde univariate stochasten en een Gaussische copula (correlatiematrix). Dit wordt schematisch weergegeven in figuur 1. Wanneer u een multivariate normale verdeling gebruikt in het modelleren van een bepaald fenomeen, maakt u impliciet al gebruik van een copula.
Als de aanname van normaliteit voor één van de univariate reeksen niet opgaat, heeft dat als gevolg dat de multivariate normale verdeling niet het juiste model is om de berekeningen op te baseren. Daarnaast is het mogelijk dat de marginale verdelingen wel allemaal normaal zijn, maar dat de afhankelijkheidsstructuur niet wordt beschreven door de Gaussische copula. In beide situaties kan een op maat gemaakte multivariate kansverdeling uitkomst bieden.
Een voordeel van een op een maat geconstrueerde multivariate verdeling ten opzichte van een standaard (normale) multivariate kansverdeling is dat de univariate verdelingen verschillend kunnen zijn. Deze verdelingen worden aan elkaar gekoppeld door een copula die de afhankelijkheidsstructuur correct beschrijft.
Voorbeeld
Stel dat een onderneming het totale risico wil bepalen dat volgt uit rente- enkredietrisico dat wordt gelopen binnen verschillende beleggingsportefeuilles. Als eerste wordt op basis van historische data een multivariate kansverdeling opgesteld aan de hand van de bovenstaande stappen. Vervolgens wordt met behulp van deze verdeling data gesimuleerd.
Op basis van deze data, het risicomodel en de gekozen betrouwbaarheid (vaak afhankelijk van de gewenste rating van de onderneming) wordt het totale risico bepaald, bijvoorbeeld uitgedrukt in Value at Risk.
Figuur 2 toont de marginale verdelingen op basis van historische data. Voor de verliesfunctie van het kredietrisico geeft de gamma verdeling de beste fit, terwijl het marktrisico de beste fit geeft met een t-verdeling. Verder blijkt uit de data dat de extreme gebeurtenissen relatief vaak tegelijk voorkomen, daarom is de t-copula geschikter dan de Gaussische copula.
Om het gezamenlijke risico voor markt- en kredietrisico te bepalen worden de twee simulatiestappen uitgevoerd die in het kader staan beschreven. Eerst wordt de data voor de t-copula gesimuleerd. Vervolgens kan deze data
naar de ruimte van de individuele variabelen worden getransformeerd, door middel van de inverse cumulatieve verdelingsfuncties van de gamma verdeling voor het kredietrisico en de t-verdeling voor het marktrisico.
Op basis van deze simulatie data kan een bepaalde waarneming worden genomen als kwantielschatting. Uiteraard kan dit bivariate voorbeeld eenvoudig naar hogere dimensies worden uitgebreid.
Gevolgen en conclusie
Bij het berekenen van risicomaatstaven is het van essentieel belang om de juiste modelaannames te doen. Voor het vaststellen van een multivariate kansverdeling betreft dit de keuze voor de univariate kansverdelingen en de gebruikte copula. De impact van het verkeerd specificeren van een multivariate verdeling kan grote gevolgen hebben.
Als in het bovenstaande voorbeeld onterecht de bivariate normale verdeling gekozen wordt, heeft dit de volgende consequenties:
- De kans op extreme gebeurtenissen wordt onderschat, omdat de dikstaartigheid van de gekozen kansverdeling niet overeen komt met het daadwerkelijke risico.
- De keuze van de normale verdeling voor kredietrisico is volledig onjuist, aangezien de verliesfunctie van het kredietrisico alleen waardes groter dan nul kent. De normale verdeling dicht echter ook een kans toe aan gebeurtenissen kleiner dan nul.
- De Gaussische copula onderschat de correlatie in geval van extreme gebeurtenissen. Hierdoor wordt het risico te laag ingeschat. Onjuiste modellen leveren per definitie een onjuiste weergave van de risico’s – de risicomaatstaven – op.Zorg daarom voor de juiste specificaties van uw risicomodellen en de simulaties van de onderliggende (economische) variabelen. De multivariate normale verdeling, die in de praktijk vaak onterecht wordt toegepast, kan worden vervangen door een op maat gemaakte multivariate verdeling die beter aansluit bij de werkelijke risico’s die de onderneming loopt. Het risicomanagement van een onderneming wordt hierdoor verder verbeterd en de gepresenteerde risicomaatstaven zullen steeds meer de werkelijkheid gaan representeren.
