Waardering voor impliciete optionaliteit

Eigenaars van Duitse windmolenparken hebben conform de Erneuerbaren Energien Gesetz (EEG), de Duitse wet ter stimulering van duurzame energie, recht op een minimale verkoopprijs per geproduceerde megawattuur (MWh). Deze ligt aanzienlijk boven de prijs voor grijze stroom. Het recht op deze prijs geldt gemiddeld voor 15 jaar.

Aan het begin van elke maand heeft de eigenaar de keuze of hij gedurende die maand zijn energie verkoopt tegen de bij de oprichting van het park vastgestelde prijs per MWh of op de stroombeurs tegen de geldende dagprijs. Mede doordat deze vooraf vastgestelde contractprijs op dit moment ver boven de marktprijs ligt, nemen investeerders in de regel louter de vaste prijs mee in hun kasstroomprognoses.

“Door deze extra inkomsten nu op te nemen in de kasstroomprognoses wordt een hogere waardering en dus een hogere transactiewaarde bij aan- of verkoop van het park gerechtvaardigd.”

De maandelijkse keuze voor de vaste of variabele prijs vertegenwoordigt echter een waarde met de kenmerken van een financiële optie en kan aldus gewaardeerd worden.

Met de waargenomen volatiliteit in de prijzen van fossiele brandstoffen en energie gedurende de afgelopen jaren in het achterhoofd, besloot Zanders de waarde van deze impliciete optionaliteit te onderzoeken. Bij gebrek aan handel in forwards met vergelijkbare looptijden zocht zij naar een alternatieve waarderingsmethodiek. Dit artikel zet de gedachtengang uiteen waarop Zanders haar waardering heeft gebaseerd.

Energie als commodity

De energiemarkten in Europa zijn slechts enkele jaren geleden geliberaliseerd. Zowel de handel in energiederivaten als de waarderingsmethodieken en discussies daaromtrent staan nog in de kinderschoenen. Hoewel al decennia in commodity futures op bijvoorbeeld graan wordt gehandeld, is de parallel met electricteit slechts beperkt te trekken.

“Bij gebrek aan forwardhandel in gecorreleerde derivaten met vergelijkbare looptijd is ervoor gekozen om de energieprijs als zelfstandig stochastisch proces te modelleren.”

Electriciteit onderscheidt zich onder meer van commodities doordat het niet opgeslagen kan worden. Dit betekent enerzijds dat de secundaire markt voor energie enorm volatiel is omdat een overschot elders afgezet moet worden. Anderzijds veroorzaakt de primaire basisbehoefte waarin energie voorziet een sterke politieke en geografische kleuring van lokale energiemarkten.

Vanuit waarderingsoogpunt heeft het prijsniveau van electricteit een aantal karakteristieke eigenschappen. Figuur 1 toont de prijs van één MWh energie op de Duitse spotmarkt (EEX Intraday Spot, grootzakelijk) sinds haar liberalisering in januari 2004.

Ontegenzeggelijk komt het onregelmatige karakter van de prijsbeweging duidelijk uit de grafiek naar voren. Meerdere malen verdubbelde of halveerde de prijs per MWh op één dag. Typerend is de consistente terugkeer naar een gemiddeld prijsniveau (ook wel mean reversion genoemd) en het hogere prijspeil gedurende de winter (seizoensgebondenheid).

Tot slot is een benadering voor de volatiliteit weergegeven in lichtblauwe kleur op de rechteras, waarin een sterke mate volatiliteitsclustering te zien is: de mate van prijsschommeling, zowel hoog als laag, lijkt gedurende een langere tijd constant te blijven.

Modelleringstechnieken

Mede doordat energie deels wordt opgewekt met fossiele brandstoffen is haar marktprijs sterk gecorreleerd met de prijs van gas.

Aangezien voor gas een levendige forwardmarkt met looptijden tot drie jaar bestaat, zou men een waarderingsmodel voor de energieprijs kunnen baseren op de correlatie tussen beide producten en de forward curve voor gas kunnen gebruiken om het model daarop te calibreren.

Helaas is deze aanpak onvoldoende. Afgezien van een niet-perfecte correlatie tussen energie en gas (bijvoorbeeld omdat deze laatste wel opgeslagen kan worden) wordt voor het vraagstuk gekeken naar de inkomsten over een horizon van twintig jaar. Een model gebaseerd op de prijsontwikkeling van gasderivaten zou ernstig tekort schieten voor de laatste zeventien jaar van onze prognose, wat juist de periode is waarin de optionaliteit in de leveringsovereenkomst interessant zou kunnen worden.

Bij gebrek aan forwardhandel in gecorreleerde derivaten met vergelijkbare looptijd is ervoor gekozen om de energieprijs als zelfstandig stochastisch proces te modelleren. Hierbij is ons model gebaseerd op het mean reverting jump diffusion model with seasonality van Cartea en Figueroa*.

Jump diffusion style modelling

Het jump diffusion model splitst het prijsniveau St op in een deterministische functie Gt die het seizoensgebonden gemiddelde modelleert en een variabel stochastisch proces Yt welke de onzekerheid en volatiliteit in het prijsniveau aanbrengt. In ons model wordt Yt beschreven door de volgende differentiaalvergelijking.

Hierbij bepaalt α de mean reversion rate, veroorzaakt het Poisson proces q samen met lognormale stochast J de onregelmatige schokken en is Z een Brownse beweging welke door volatiliteit σt van kracht voorzien wordt.

Uit de vergelijking wordt duidelijk dat Yt een lange termijn gemiddelde niveau van nul heeft. Door deze exponentieel samen te laten hangen met seizoensniveau Gt wordt een log normaal proces gecreëerd met gemiddelden op seizoensniveau.

Invulling geven aan het model

Voor Gt zijn we op zoek naar een continue functie die voor elk willekeurig moment een seizoensgebonden prijs afgeeft. Een voor de hand liggende kandidaat daarvoor is een Fourier proces (in ons geval van vijfde orde) dat we door de gemiddelde prijs per maand over de afgelopen vijf jaar schatten. Het resultaat is weergegeven in Figuur 2.

Om parameters voor de onregelmatige schokken te schatten, lichten we iteratief de grootste relatieve prijsbewegingen uit de prijshistorie totdat deze geen dagen meer bevat met een positief of negatief rendement van meer dan 3 standaarddeviaties van 0.

Het aantal excessen ten opzichte van het totaal aantal metingen vormt de frequentieparameter voor het Poisson proces q en het gemiddelde en de standaardafwijking van de excessen gebruiken we als verdelingsparameters voor lognormale stochast J.

 Doordat het stochastische proces relatief ten opzichte van het gemiddelde prijsniveau wordt gemodelleerd, is het eenvoudig om een inflatie-effect in het model te bedden. We hoeven louter het sezoensgemiddelde Gt hiertoe geleidelijk te verhogen.

Toepassing

De optiewaarde in ons vraagstuk ontstaat doordat de exploitant van het windmolenpark de mogelijkheid heeft de energie te verkopen tegen de marktprijs wanneer die meer oplevert dan de contractprijs. De optiewaarde kan worden berekend door middel van simulatie met honderdduizenden prijspadenoptiewaarde.

Omdat elk pad in de simulatie een gelijke kans heeft, vormt het gemiddelde van meeropbrengsten per pad de waarde van de optionaliteit in het vraagstuk als geheel. Een voorbeeld van een dergelijk gesimuleerd pad wordt weergegeven in Figuur 3.

Het is belangrijk te begrijpen dat het simuleren van een proces als de energieprijs geen exacte wetenschap is. Onder de aannames van het model is de veronderstelling dat de structuur van de prijsbewegingen gedurende de komende 20 jaar dezelfde zal blijven als de afgelopen 5 jaar. Dit vindt onder andere zijn weerspiegeling in frequentie en intensiteit van de schokken en de mate van volatiliteitsclustering.

Echter bij gebrek aan forwardhandel met lange looptijden in gecorreleerde producten is de gekozen aanpak op dit moment as good as it gets. Het stelt ons in ieder geval in staat om de waarde van de optionaliteit op de lange termijn mee te nemen in de waardering van de contractprijs alleen. Doordat de contractprijs over het algemeen ver boven de huidige marktprijs ligt – voor de windmolenparken in kwestie bedroeg deze rond de 90 euro per MWh, tegen een marktprijs van 40 euro per MWh nu – is de optiewaarde in de eerste jaren zeer beperkt.

Naarmate de tijd vordert en inflatie een rol gaat spelen, schiet de waarde ervan echter omhoog. Door deze extra inkomsten nu op te nemen in de kasstroomprognoses wordt een hogere waardering en dus een hogere transactiewaarde bij aan- of verkoop van het park gerechtvaardigd. Daarnaast kan de optiewaarde worden gescheiden van de exploitatie op basis van de vaste prijzen en middels verkoop van de optiewaarde een extra deel financiering worden verkregen.

Bij stijgende energieprijzen kan dit voor ontwikkelaars en nutsbedrijven erg interessant zijn.

* ‘Pricing in electricity markets: A mean reverting jump diffusion model with seasonality’, A. Cartea & M.G. Figueroa, Birkbeck College, University of London. Applied Mathematical Finance, Vol. 12, No. 4, December 2005